Скорость в математике обозначается буквой. стрелка обозначает направление от А к В, Математические знаки. Все предметы / Математика / 9 класс. Значение и использование в перевернутой в математике В математике перевернутый знак v обозначает переменную или неизвестное число.
Остались вопросы?
Запишем полученные результаты в таблицу.
Буквенные обозначения в химии. Условные обозначения в задачах по химии. Как обозначается скорость в физике. Как обозначается путь в физике. Физика как обозначается скорость.
Какой буквой обозначается скорость в физике. Информатика 7 класс обозначения и формулы. Формулы по информатике 7 класс для решения задач изображения. Задачи по информатике обозначения и формулы. Формулы для задач по информатике. Знаки обозначения в геометрии.
Обозначение знаков в геометрии. Символьные обозначения. Таблица математических символов. Как обозначается скорость. Какою буквоцобозначается скорость. Как обозначается расстояние.
Скорость обозначение буквой. Звуковые значения буквы с. Значение букв е ё ю я. Значение буквы я. Фонетика значение букв е ё ю я. Сила обозначение и единица измерения.
Сила обозначается буквой. Сила обозначение и единица измерения физика. Как обозначаются Дж в физике. Момент энергии единица измерения. КПД единица измерения. Какой буквой обозначается работа.
V единица измерения в физике. Система си единицы измерения по физике 7 класс. Физика 7 класс таблица единицы измерения приборы и величина. Обозначение единиц в системе си. Физика обозначение букв. Значение букв в физике.
Обозначение букв в физике. Что обозначают буквы в физике 10 класс. Парный по глухости звонкости согласный звук. Слова с парными по глухости-звонкости согласным звуком. Парные слова по глухости-звонкости согласного звука. Парный по глухости звонкости согласный звук 2 класс.
Как обозначается масса 7 класс физика. Как обозначают буквы в физике. Как обозначается объем в физике. Как обозначается объем в физике 7. Периметр длина ширина 2 класс. Периметр правило 3 класс.
Периметр прямоугольника. Как обозначать периметр буквами. Как обозначается площадь ширина и длина в математике. Какой буквой обозначается ширина в математике 3 класс. Таблицы по физике для кабинета. Обозначение в физике единицы измерения формулы.
Физические символы. Задачи на совместную работу схема. Формула работы в задачах по алгебре. Формулы для решения задач на производительность. Как обозначается ширина. Как в математике обозначается толщина.
Шарина в физикк как обрзначается. Как обозначается длина и ширина. Обозначение единиц измерения. Формула единицы измерения. Формулы обозначения физических величин и их единицы измерения. Скорость обозначение и единица измерения.
Какой буквой обозначается мощность в физике 8 класс. Работа тока мощность тока сила тока единицы измерения. Сила тока обозначение и единица измерения в си. Как обозначается физическая величина сила тока. Формула мощности алфавита в информатике. Мощность алфавита формула.
КВК еайти мощнрсиь алфавита. Ккинайти мощность алфавита. Скорость обозначение в физике буквой. Скорость обозначается. Название величины обозначение единица измерения формула. Задачи на нахождение информационного объема алфавита.
Бантова, Г. Бельтюкова и др. Рабочая тетрадь. Учебное пособие для общеобразовательных организаций. Бантова — 6-е изд. Для тех, кто любит математику.
Пособие для учащихся общеобразовательных организаций.
В общую практику использования символ «дельта» вошёл после работ Леонарда Эйлера в 1755 году. Сумма — результат сложения величин чисел, функций, векторов, матриц и т. Гаусс 1812.
Произведение — результат умножения. В русской математической литературе термин «произведение» впервые встречается у Леонтия Филипповича Магницкого в 1703 году. Крамп 1808. Факториал числа n обозначается n!
Например, 5! По определению полагают 0! Факториал определён только для целых неотрицательных чисел. Факториал числа n равен числу перестановок из n элементов.
Например, 3! Термин «факториал» ввёл французский математик и политический деятель Луи Франсуа Антуан Арбогаст 1800 , обозначение n! Модуль, абсолютная величина. Вейерштрасс 1841.
Считают, что термин «модуль» предложил использовать английский математик и философ, ученик Ньютона, Роджер Котс. Готфрид Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл «модулем» и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году немецким математиком Карлом Вейерштрассом. В 1903 году австрийский учёный Конрад Лоренц использовал эту же символику для длины вектора.
Шмидт 1908. Норма — функционал, заданный на векторном пространстве и обобщающий понятие длины вектора или модуля числа. Знак «нормы» от латинского слово «norma» — «правило», «образец» ввел немецкий математик Эрхард Шмидт в 1908 году. Люилье 1786 , У.
Гамильтон 1853 , многие математики вплоть до нач. Предел — одно из основных понятий математического анализа, означающее, что некоторая переменная величина в рассматриваемом процессе ее изменения неограниченно приближается к определенному постоянному значению. Первые строгие определения предела последовательности дали Бернард Больцано в 1816 году и Огюстен Коши в 1821 году. Символ lim 3 первые буквы от латинского слова limes — граница появился в 1787 году у швейцарского математика Симона Антуана Жана Люилье, но его использование ещё не напоминало современное.
Выражение lim в более привычном для нас оформлении первым использовал ирландский математик Уильям Гамильтон в 1853 году. Близкое к современному обозначение ввёл Вейерштрасс, однако вместо привычной нам стрелки он использовал знак равенства. Стрелка появилась в начале XX века сразу у нескольких математиков — например, у английского математика Годфрида Харди в 1908 году. Дзета-функция, дзета-функция Римана.
Риман 1857. Дзета-функция играет большую роль в теории чисел. Как функция вещественного переменного, дзета-функция была введена в 1737 году опубликовано в 1744 г. Эйлером, который и указал её разложение в произведение.
Затем эта функция рассматривалась немецким математиком Л. Дирихле и, особенно успешно, российским математиком и механиком П. Чебышевым при изучении закона распределения простых чисел. Лежандр 1814.
Гамма-функция — математическая функция, которая расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Через Г-функцию выражается большое число интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов. Широко используется в аналитической теории чисел. Бета-функция, В-функция, В-функция Эйлера.
Бине 1839. Подобно тому как гамма-функция для целых чисел является обобщением факториала, бета-функция, в некотором смысле, является обобщением биномиальных коэффициентов. С помощью бета-функции описываются многие свойства элементарных частиц, участвующих в сильном взаимодействии. Эта особенность подмечена итальянским физиком-теоретиком Габриэле Венециано в 1968 году.
Это положило начало теории струн. Название «бета-функция» и обозначение В p, q ввёл в 1839 году французский математик, механик и астроном Жак Филипп Мари Бине. Оператор Лапласа, лапласиан. Мёрфи 1833.
Оператор Гамильтона, набла-оператор, гамильтониан. Хевисайд 1892. Через оператор набла естественным способом выражаются основные операции векторного анализа, а так же оператор Лапласа. У Гамильтона острие символа указывало налево, позже в работах шотландского математика и физика Питера Гатри Тэйта символ приобрёл современный вид.
Гамильтон назвал этот символ словом «атлед» слово «дельта», прочитанное наоборот. Оператор получил название оператора Гамильтона, или оператора набла. Бернулли 1718 , Л. Эйлер 1734.
Математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция — это «закон», » правило» по которому каждому элементу одного множества называемому областью определения ставится в соответствие некоторый элемент другого множества называемого областью значений. Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Часто под термином «функция» понимается числовая функция; то есть функция которая ставит одни числа в соответствие другим.
Впервые подобное обозначение использовал швейцарский математик Иоганн Бернулли в 1718 году. Скобки использовались только в случае многих аргументов, а также если аргумент представлял собой сложное выражение.
Числовые и буквенные выражения. Формулы
это обозначение объема тела или фигуры. В предлагаемом вниманию читателя курсе математического анализа различные опре-деления, утверждения и теоремы зачастую формулируются посредством общепринятых ло-гических обозначений – символов (элементов, кванторов) языка раздела математики. В математике перевернутая буква v обычно используется для обозначения переменных и функций. В математике принято обозначать переменное число не пустым окошком, а буквой.
Что обозначают в математике буквы S;V;t.
| На, это значит плюс или минус, а в, это значит умножить или разделить | область определения f, а область значений f - есть некоторое. |
| Что значит v в математике? - Есть ответ! | объем, а в м, по СИ - Скорость. |
| что значит v в математике- вопрос-ответ | В системе греческой алфавитной записи чисел имеет числовое значение 2. Происходит от финикийской буквы — бет, что в переводе означает «дом». |
| Сравнение. Знаки , = и ≠ | Этот знак в математике означает возведение числа в заданную степень. |
| Таблица математических символов | Virtual Laboratory Wiki | Fandom | это обозначение объема тела или фигуры. |
Теория вероятностей: как научиться предсказывать случайные события
Любой абстрактный вектор можно представить в виде: Эти формулы задают соответствие между абстрактным и численными векторами! Заметьте, что можно ввести базис. Тогда можно записать вектор через этот базис: И в другом базисе будут другие числа, но вектор останется одним и тем же. Конечно, на практике мы никогда не столкнёмся с абстрактными векторами, а всегда будем работать с числовыми столбцами, но это удобная абстракция, чтобы обозначить один и тот же объект. По сути численный вектор - это проекция абстрактного вектора на базис. Кстати, линейные операции над вектором равносильны линейным операциям над его координатным столбцом: Переход из одного базиса в другой В этой задаче данные обозначения проявляют свою силу, потому что со стандартными обозначениями в ней происходит больше всего путаницы при решении задач. Из имеющихся у нас формул можно вывести ещё несколько полезных: Благодаря полученным формулам мы теперь знаем как переводить численные вектора из одного базиса в другой. Линейный оператор Линейный оператор - это функция, принимающая на вход вектор, и возвращающая вектор. При этом пространство первого вектора может отличаться от пространства второго вектора. В математике любят писать: , что означает, что "оператор применяется к вектору".
Меня эта нотация бесит. Она похожа на умножение, и всегда надо заранее знать, что - функция. Этот "оператор" называется линейным, потому что он обладает линейными свойствами как и практически всё в линейной алгебре.
Волкова — 9-е изд. Теоретический материал для самостоятельного изучения Вы уже умеете решать примеры «с окошками».
Это число 3. Подставим вместо «окошка» это число. Мы подбираем число или числа, чтобы неравенство было верным. Буква может быть как первым, так и вторым слагаемым.
Скорость — это величина, которая характеризует изменение положения объекта со временем. В геометрии и физике знак «v» также может использоваться для обозначения объема. Объем — это мера пространства, занимаемого объектом. На самом деле, в математике знак «v» может иметь много других значений, так как математика — это очень обширная наука. Однако эти три значения являются наиболее распространенными и употребляемыми в различных областях математики и естественных наук. Знак v в математике: определение и значение В математике знак v обычно используется для обозначения различных величин и концепций. Он имеет наклонную форму и иногда может быть также перевернутым. В зависимости от контекста, знак v может иметь различные значения и использоваться для разных целей.
Одним из наиболее распространенных значений знака v является обозначение скорости. В физике и других естественных науках, v обычно обозначает скорость объекта. Также, в математическом анализе, знак v может использоваться для обозначения переменной. Знак v также может использоваться для обозначения объема. В геометрии и физике, v может обозначать объем фигуры или объекта. В некоторых случаях, знак v может использоваться для обозначения вектора. Вектор — это величина, которая имеет направление и модуль. Использование знака v в математике зависит от контекста и области применения.
Он может иметь различные значения и использоваться для обозначения разных величин. Поэтому важно учитывать контекст, в котором используется знак v, чтобы правильно интерпретировать его значение.
Алгебра — это раздел математики, изучающий арифметические действия, переменные и уравнения. Для решения задач, связанных с алгеброй, необходимо уметь работать с формулами и решать уравнения. Тригонометрия — еще один важный раздел математики. Она изучает отношения между сторонами треугольников и углами.
Важным понятием в тригонометрии являются тригонометрические функции, такие как синус, косинус и тангенс. Они находят широкое применение в решении задач, связанных с геометрией. Геометрия — еще один раздел математики, который часто встречается в задачах. Геометрия изучает фигуры и пространственные отношения между ними. Важными понятиями в геометрии являются точка, прямая, угол, треугольник, окружность и многое другое. Для решения задач в геометрии необходимо уметь работать с формулами, используя знания о свойствах фигур.
Это лишь небольшой список понятий, без которых нельзя обойтись при решении задач в математике. Важно иметь ясное представление о каждом из них и уметь применять знания для успешного решения задач. Числовые системы счисления Числовые системы счисления являются основой математики и информатики. Они позволяют представлять числа в различных форматах и работать с ними при проведении вычислений и анализе данных. Существует несколько основных систем счисления: десятичная, двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. В десятичной системе счисления используются десять цифр от 0 до 9.
В двоичной системе счисления используются две цифры — 0 и 1. В восьмеричной системе счисления используются восемь цифр — от 0 до 7. В шестнадцатеричной системе счисления используются шестнадцать цифр — от 0 до 9 и от A до F. Перевод числа из одной системы счисления в другую можно осуществлять с помощью математических операций. Например, для перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную систему необходимо каждую цифру числа умножить на 2 в степени, соответствующей ее порядку, и сложить полученные произведения. Для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную необходимо разделить число на 2 до тех пор, пока не получится 0, и записывать остатки от деления в обратном порядке.
Числовые системы счисления широко используются в информатике при работе с компьютерами. Например, двоичная система счисления используется для представления данных в компьютерных системах, а шестнадцатеричная система счисления используется для записи цветов в графических программах. Арифметические действия Арифметические действия — это операции, которые мы выполняем с числами: сложение, вычитание, умножение и деление. В математических задачах они могут быть решены с помощью нескольких методов и формул. Сложение — это операция, при которой мы складываем два или более числа и получаем результат — сумму. В задачах это может быть использовано, например, для подсчета общей суммы денег, которую потратил человек.
Вычитание — это операция, при которой мы из одного числа вычитаем другое и получаем результат — разность. В задачах это может понадобиться, например, для выяснения, сколько денег осталось у человека после того, как он потратил некоторую сумму. Умножение — это операция, при которой мы умножаем одно число на другое и получаем результат — произведение. В задачах это может использоваться, например, для подсчета общей стоимости нескольких товаров. Деление — это операция, при которой мы делим одно число на другое и получаем результат — частное. В задачах это может понадобиться, например, для расчета среднего значения числовых данных.
Помимо этих базовых арифметических действий, в математических задачах может использоваться еще ряд других, более сложных операций, например, возведение в степень, извлечение корня и т. Важно уметь правильно определить, какая именно операция нужна для решения данной задачи, и применить соответствующий метод решения. Геометрические фигуры Геометрические фигуры — это фигуры, которые имеют определенную форму и геометрические характеристики, такие как длина, ширина, высота, площадь, объем и периметр.
Математические знаки
Сегодня мы будем говорить о буквенных выражениях, как найти значение буквенного выражения. В этом видео объясняется, для чего используются буквы в математике. Математические обозначения символы. Что обозначает в математике. это обозначение объема тела или фигуры.
Математические знаки
31 октября 2016 Дмитрий Морозов ответил: Обычно буквой V, иногда мне попадалось обозначение Vol. Что означает буква А в математике? В системе греческой алфавитной записи чисел имеет числовое значение 2. Происходит от финикийской буквы — бет, что в переводе означает «дом». Пользователь Nusha задал вопрос в категории Воспитание детей и получил на него 10 ответов. Ты уже знаешь, что для обозначения данных в математике мы используем латинские буквы.
Что обозначает v в математике
Например, предположим, у нас есть две группы людей — мужчины и женщины. Мы хотим узнать, есть ли существенные различия в их росте. Мы собираем данные и проводим статистический анализ. Полученное значение V-статистики показывает, насколько значимы различия в росте между мужчинами и женщинами. Если значение V-статистики больше нуля, то значит, что различия в росте статистически значимы. Примеры использования буквы V в математике Вектор: Вектор часто обозначается буквой V с соответствующими надстрочными или подстрочными индексами, указывающими направление и величину вектора. Вершина: Вершина в графе может обозначаться буквой V и соответствующим номером или индексом.
Вариация: Буква V может использоваться для обозначения вариации или разномастности переменной в уравнении или формуле. Вероятность: Вероятность события может обозначаться буквой P или V в статистике и теории вероятностей. Волюта: Буква V используется для обозначения денежной единицы, такой как волюта валюты. Это лишь несколько примеров использования буквы V в математике. Она может также встречаться в других контекстах и символах в зависимости от конкретной области математики и примера, рассматриваемого.
Вот две нестрашные закорючки. На картинке выше написано следующее: «посчитать сумму всех чисел от 5 до 15, умноженных на два». Сложить результаты этих операций. Давайте для закрепления ещё один пример. На картинке ниже будет сказано «Найди сумму квадратов чисел от 5 до 10». То есть «возьми все числа от 5 до 10, каждое из них возведи в квадрат, а результаты сложи».
Во-вторых, буквами обозначают какое-либо неизвестное число значение , которое требуется вычислить или подставить в выражение, чтобы найти другое неизвестное. Такие буквы называются переменными. В алгебре их обычно обозначают буквами x и y. Рассмотрим сказанное на конкретных примерах. Существуют различные законы арифметики. Например, переместительный закон умножения, который формулируется так: от перемены мест множителей произведение не меняется. Математики нашли вполне естественный выход, - они стали использовать буквы, понимая под этим, что вместо буквы может стоять любое или лежащее в определенном диапазоне число.
Иначе это называется выразить одну величину через другую. Например: S — площадь фигуры, P — периметр, t — время и т. Запись такого равенства называется формулой. Или другими словами, это запись правила вычисления одной неизвестной величины при помощи известных других. Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Арифметические операторы
- Числовые выражения
- Информация
- Произведение П
- Значение буквы «в» в математике: расшифровка и применение
- Числовые множества
- Значение буквы b в математике
Элементарные события
- Чему равно V в математике?
- Что такое предлог на в математике?
- Что означает "в" в математике: объяснение на примере задач
- § Линейная функция y = kx + b и её график
- § Линейная функция y = kx + b и её график
- Что означает буква П в математике?
Применение буквы V в математике
- Что значит буква b в математикее -
- Буква V в математике: ее значение и применение
- Математические обозначения: Прошлое и будущее / Хабр
- Математические знаки
- Знак в в математике: значение и применение
буквы Vn - в математике что обозначает?
Для измерения напряжения используются специальные приборы, называемые вольтметры. Они обычно имеют электроизоляционные материалы, чтобы предотвратить короткое замыкание и гарантировать безопасность при измерении высокого уровня напряжения. Связь с мощностью и силой тока Также буква В используется для обозначения вольта В — единицы измерения электрического напряжения и потенциала. Вольтметр предназначен для измерения напряжения в электрической цепи.
Электроизоляционные материалы, такие как полиэтилен или стекловата, используются для создания надежной изоляции в электрических установках и оборудовании. Использование электроизоляционных материалов позволяет предотвращать проникновение электрического тока и заземления, что способствует безопасному использованию электро оборудования. Использование буквы В в электрических схемах Буква В используется для обозначения также электроизоляционных материалов с высокой степенью изоляции и низким коэффициентом потерь.
Эти материалы широко используются в электротехнике и электронике для разделения и защиты проводников от контакта друг с другом или с землей. Электроизоляционные материалы на основе буквы В могут быть использованы в различных приложениях, включая изоляцию проводов и кабелей, внутриэлектродные изоляторы в электронных компонентах, а также защитные покрытия для электрических аппаратов и оборудования.
А также: A - работа; В - магнитная индукция; С - электроемкость конденсатора; D - оптическая сила; Е - напряженность электрического поля, энергия в электростатике W ; F - сила, фокусное расстояние линзы, постоянная Фарадея; K - Кельвин, кинетическая энергия: G - гравитационная постоянная; H - высота, напряженность... Что означает буква V в круге? Перечеркнутый круг — химчистка запрещена. Английская буква W в кружочке допускает обычную влажную химчистку без ограничений.
Буква W в кружке, подчеркнутом одной линией говорит о деликатной влажной химчистке со сниженным механическим воздействием. Что означает буква V в химии? Ответ: Возможно V - это объем. Можно найти различными способами. Что значит перевернутая буква А в математике? Что означает Перевёрнутая а в математике?
Перевернутая буква А — это "квантор общности", имеющий смысл слова «все» - или "для всех".
В «Началах» Евклида величины обозначались двумя буквами, соответствующими началу и концу отрезка, а иногда и одной буквой. У Архимеда последний способ стал обычным. Такие обозначения содержали в себе возможности развития буквенного исчисления, однако в античной математике буквенное исчисление не было создано, только в позднеэллинистическую эпоху в результате освобождения алгебры от геометрической формы появились начала буквенного изображения величин и операций над ними. Создание современной алгебраической символики относится к 14—17 вв. В различных странах независимо друг от друга появлялись математические знаки для действий над величинами.
Вариант — в комбинаторике буква «в» может обозначать варианты размещения или сочетания элементов. Вершина — в графах и геометрии «в» может быть использована для обозначения вершины. Это лишь некоторые из примеров использования буквы «в» в математике. В общем случае, каждая область математики может иметь свои специфические обозначения, и буква «в» может быть использована в разных контекстах в различных математических понятиях. Терминология и обозначение: В математике буква в используется для обозначения различных величин и понятий. В зависимости от контекста, в может обозначать: 1. Вектор: в математическом анализе и линейной алгебре буква в может обозначать вектор — геометрическую величину, имеющую направление и модуль. Вероятность: в теории вероятностей и математической статистике буква в может обозначать вероятность события. Это лишь некоторые примеры использования буквы в в математике. Важно помнить, что значение и интерпретация в зависит от контекста и области математики, в которой она используется. Символическое представление В математике буква может иметь символическое представление, которое используется для обозначения определенного понятия или переменной. Это позволяет упростить запись и визуально выделить важные компоненты уравнений и формул. Например, буква «x» часто используется в алгебре для обозначения неизвестного числа или переменной. Она может быть заполнена любым значением в соответствующем диапазоне. Она обозначает математическую константу, равную примерно 3,14159. Такое представление используется для обозначения длины окружности, площади круга и других геометрических величин. Она используется для обозначения суммы последовательности.
V что обозначает в математике?
Случаи опускания знака умножения в выражениях В буквенных выражениях обычно знак умножения пишут только между числами, которые выражены цифрами. Иначе это называется выразить одну величину через другую. Например: S — площадь фигуры, P — периметр, t — время и т. Запись такого равенства называется формулой. Или другими словами, это запись правила вычисления одной неизвестной величины при помощи известных других.
В алгебраических выражениях, буква «а» часто сочетается с другими буквами, такими как «b» и «с», чтобы образовать формулы, уравнения или неравенства. В зависимости от значений этих переменных, значение выражения будет меняться. Буква «а» также может быть использована для обозначения коэффициента при переменной в алгебраическом выражении. В алгебраических выражениях, буква «а» может обозначать произвольную переменную, которая может принимать любые значения из определенного множества. Буква «а» может также обозначать конкретное значение переменной, если оно указано в условии или задаче.
Использование буквы «а» в математике позволяет создавать универсальные формулы, которые могут применяться к различным значениям переменных и решать широкий спектр математических задач. Геометрические фигуры и углы Буква «а» может обозначать различные геометрические объекты.
Обычно она используется в числах, состоящих из двух и более цифр. Например, в числе «5 в 3» означает «пять умножить на три» и равно пятнадцати. Главное значение буквы «в» в цифрах — это знак умножения. Умножение — это арифметическая операция, которая дает результат произведения двух чисел.
Это куда ближе к лингвистике. Речь не о том, какой бы могла быть математическая нотация, а о том, какова используемая математическая нотация в действительности — как она развивалась в ходе истории и как связана с ограничениями человеческого познания. Я думаю, математическая нотация — весьма интересное поле исследования для лингвистики. Как можно было заметить, лингвистика в основном изучала разговорные языки. Даже пунктуация осталась практически без внимания. И, насколько мне известно, никаких серьёзных исследований математической нотации с точки зрения лингвистики никогда не проводилось. Обычно в лингвистике выделяют несколько направлений. В одном занимаются вопросами исторических изменений в языках. В другом изучается то, как влияет изучение языка на отдельных людей. В третьем создаются эмпирические модели каких-то языковых структур. История Давайте сперва поговорим об истории. Откуда произошли все те математические обозначения, которые мы в настоящее время используем? Это тесно связано с историей самой математики, так что нам придётся коснуться немного этого вопроса. Часто можно услышать мнение, что сегодняшняя математика есть единственная мыслимая её реализация. То, какими бы могли быть произвольные абстрактные построения. И за последние девять лет, что я занимался одним большим научным проектом, я ясно понял, что такой взгляд на математику не является верным. Математика в том виде, в котором она используется — это учение не о произвольных абстрактных системах. Это учение о конкретной абстрактной системе, которая исторически возникла в математике. И если заглянуть в прошлое, то можно увидеть, что есть три основные направления, из которых появилась математика в том виде, в котором мы сейчас её знаем — это арифметика, геометрия и логика. Все эти традиции довольно стары. Арифметика берёт своё начало со времён древнего Вавилона. Возможно, и геометрия тоже приходит из тех времён, но точно уже была известна в древнем Египте. Логика приходит из древней Греции. И мы можем наблюдать, что развитие математической нотации — языка математики — сильно связано с этими направлениями, особенно с арифметикой и логикой. Следует понимать, что все три направления появлялись в различных сферах человеческого бытия, и это сильно повлияло на используемые в них обозначения. Арифметика, вероятно, возникла из нужд торговли, для таких вещей, как, к примеру, счёт денег, а затем арифметику подхватили астрология и астрономия. Геометрия, по всей видимости, возникла из землемерческих и подобных задач. А логика, как известно, родилась из попытки систематизировать аргументы, приведённые на естественном языке. Примечательно, кстати, что другая, очень старая область знаний, о которой я упомяну позднее — грамматика — по сути никогда не интегрировалась с математикой, по крайней мере до совсем недавнего времени. Итак, давайте поговорим о ранних традициях в обозначениях в математике. Во-первых, есть арифметика. И самая базовая вещь для арифметики — числа. Так какие обозначения использовались для чисел? Что ж, первое представление чисел, о котором доподлинно известно — высечки на костях, сделанные 25 тысяч лет назад. Это была унарная система: чтобы представить число 7, нужно было сделать 7 высечек, ну и так далее. Конечно, мы не можем точно знать, что именно это представление чисел было самым первым. Я имею ввиду, что мы могли и не найти свидетельств каких-то других, более ранних представлений чисел. Однако, если кто-то в те времена изобрёл какое-то необычное представление для чисел, и разместил их, к примеру, в наскальной живописи, то мы можем никогда и не узнать, что это было представление чисел — мы можем воспринимать это просто как какие-то фрагменты украшений. Таким образом, числа можно представлять в унарной форме. И такое впечатление, что эта идея возрождалась множество раз и в различных частях света. Но если посмотреть на то, что произошло помимо этого, то можно обнаружить довольно много различий. Это немного напоминает то, как различные виды конструкций для предложений, глаголов и прочее реализованы в различных естественных языках. И, фактически, один из самых важных вопросов относительно чисел, который, как я полагаю, будет всплывать ещё много раз — насколько сильным должно быть соответствие между обычным естественным языком и языком математики? Или вот вопрос: он связан с позиционной нотацией и повторным использованием цифр. Как можно заметить, в естественных языках обычно есть такие слова, как "десять", "сто", "тысяча", "миллион" и так далее. Однако в математике мы можем представить десять как "один нуль" 10 , сто как "один нуль нуль" 100 , тысячу как "один нуль нуль нуль" 1000 и так далее. Мы можем повторно использовать эту одну цифру и получать что-то новое, в зависимости от того, где в числе она будет появляться. Что ж, это сложная идея, и людям потребовались тысячи лет, чтобы её действительно принять и осознать. А их неспособность принять её ранее имела большие последствия в используемых ими обозначениях как для чисел, так и для других вещей. Как это часто бывает в истории, верные идеи появляются очень рано и долгое время остаются в забвении. Более пяти тысяч лет назад вавилоняне, и возможно даже до них ещё и шумеры разработали идею о позиционном представлении чисел. Их система счисления была шестидесятеричная, а не десятичная, как у нас. От них мы унаследовали представление секунд, минут и часов в существующей ныне форме. Но у них была идея использования одних и тех же цифр для обозначения множителей различных степеней шестидесяти. Вот пример их обозначений. Из этой картинки можно понять, почему археология столь трудна. Это очень маленький кусок обожжённой глины. Было найдено около полумиллиона подобных вавилонских табличек. И примерно одна из тысячи — то есть всего около 400 — содержат какие-то математические записи. Что, кстати, выше отношения математических текстов к обычным в современном интернете. Вообще, пока MathML не получил достаточного распространения, это является достаточно сложным вопросом. Но, в любом случае, маленькие обозначения на этой табличке выглядят слегка похожими на отпечатки лапок крошечных птиц. Но почти 50 лет назад в конце концов исследователи определили, что эта клинописная табличка времён Хаммурапи — около 1750 года до н. Что ж, эти вавилонские знания были утеряны для человечества почти на 3000 лет. И вместо этого использовались схемы, основанные на естественных языках, с отдельными символами для десяти, ста и так далее. Так, к примеру, у египтян для обозначения тысячи использовался символ цветка лотоса, для сотни тысяч — птица, ну и так далее. Каждая степень десяти для её обозначения имела отдельный символ. А затем появилась другая очень важная идея, до которой не додумались ни вавилоняне, ни египтяне. Она заключалась в обозначении чисел цифрами — то есть не обозначать число семь семью единицами чего-то, а лишь одним символом. Однако, у греков, возможно, как и у финикийцев ранее, эта идея уже была. Ну, на самом деле, она была несколько отличной. Она заключалась в том, чтобы обозначать последовательность чисел через последовательность букв в их алфавите. То есть альфе соответствовала единица, бете — двойка и так далее. Вот как выглядит список чисел в греческом обозначении [вы можете скачать Wolfram Language Package, позволяющий представить числа в различных древних нотациях здесь — прим. Думаю, именно так сисадмины из Академии Платона адаптировали бы свою версию Mathematica; их воображаемую -600-ю или около того версию Mathematica. С этой системой счисления сопряжено множество проблем. Например, есть серьёзная проблема управления версиями: даже если вы решаете удалить какие-то буквы из своего алфавита, то вы должны оставить их в числах, иначе все ваши ранее записанные числа будут некорректными. То есть это значит, что есть различные устаревшие греческие буквы, оставшиеся в системе счисления — как коппа для обозначения числа 90 и сампи для обозначения числа 900. Однако я включил их в набор символов для Mathematica, потому здесь прекрасно работает греческая форма записи чисел. Спустя некоторое время римляне разработали свою форму записи чисел, с которой мы хорошо знакомы. Пускай сейчас и не совсем ясно, что их цифры изначально задумывались как буквы, однако об этом следует помнить. Итак, давайте попробуем римскую форму записи чисел. Это тоже довольно неудобный способ записи, особенно для больших чисел. Тут есть несколько интересных моментов. К примеру, длина представляемого числа рекурсивно возрастает с размером числа. И в целом, подобное представление для больших чисел полно неприятных моментов. К примеру, когда Архимед писал свою работу о количестве песчинок, объём которых эквивалентен объёму вселенной Архимед оценил их количество в 1051, однако, полагаю, правильный ответ будет около 1090 , то он использовал обычные слова вместо обозначений, чтобы описать столь большое число. Но на самом деле есть более серьёзная понятийная проблема с идеей о представлении цифр как букв: становится трудно придумать представление символьных переменных — каких-то символьных объектов, за которыми стоят числа. Потому что любую букву, которую можно было бы использовать для этого символьного объекта, можно будет спутать с цифрой или фрагментом числа. Общая идея о символьном обозначении каких-то объектов через буквы известна довольно давно. Евклид, по сути, использовал эту идею в своих трудах по геометрии. К сожалению, не сохранилось оригиналов работ Евклида. Однако имеются на несколько сот лет более молодые версии его работ. Вот одна, написанная на греческом языке. И на этих геометрических фигурах можно увидеть точки, которые имеют символьное представление в виде греческих букв. И в описании теорем есть множество моментов, в которых точки, линии и углы имеют символьное представление в виде букв. Так что идея о символьном представлении каких-то объектов в виде букв берёт своё начало как минимум от Евклида. Однако эта идея могла появиться и раньше. Если бы я умел читать на вавилонском, я бы, вероятно, смог бы сказать вам точно. Вот вавилонская табличка, в которой представляется квадратный корень из двух, и которая использует вавилонские буквы для обозначений. Полагаю, обожжённая глина более долговечна, чем папирус, и получается, что мы знаем о том, что писали вавилоняне больше, чем о том, что писали люди вроде Евклида. Вообще, эта неспособность увидеть возможность вводить имена для числовых переменных есть интересный случай, когда языки или обозначения ограничивают наше мышление. Это то, что несомненно обсуждается в обычной лингвистике. В наиболее распространённой формулировке эта идея звучит как гипотеза Сепира-Уорфа гипотеза лингвистической относительности. Разумеется, для тех из нас, кто потратил некоторую часть своей жизни на разработку компьютерных языков, эта идея представляется очень важной. То есть я точно знаю, что если я буду думать на языке Mathematica, то многие концепции будут достаточно просты для моего понимания, и они будут совсем не такими простыми, если я буду думать на каком-то другом языке. Но, в любом случае, без переменных всё было бы гораздо сложнее. Например, как вы представите многочлен? Ну, Диофант — тот самый, что придумал диофантовы уравнения — сталкивался с проблемой представления многочленов в середине 2 века н. В итоге он пришёл к использованию определённых основанных на буквах имён для квадратов, кубов и прочего. Вот как это работало. По крайней мере сейчас нам показалось бы чрезвычайно трудным понять обозначения Диофанта для полиномов. Это пример не очень хороших обозначений. Полагаю, главная причина, помимо ограниченной расширяемости, состоит в том, что эти обозначения делают математические связи между полиномами неочевидными и не выделяют наиболее интересные нам моменты. Есть и другие схемы задания полиномов без переменных, как, например, китайская схема, которая включала создание двухмерного массива коэффициентов. Проблема здесь, опять-таки, в расширяемости. И эта проблема с основанными на графике обозначениями всплывает снова и снова: лист бумаги, папирус или что бы то ни было — они все ограничены двумя измерениями. Хорошо, так что насчёт буквенного обозначения переменных? Полагаю, что они могли бы появиться лишь после появления чего-то похожего на нашу современную нотацию. И она до определённого времени не появлялась. Были какие-то намёки в индо-арабских обозначениях в середине первого тысячелетия, однако установилось всё лишь к его концу. А на запад эта идея пришла лишь с работой Фибоначчи о вычислениях в 13 веке. Фибоначчи, разумеется, был тем самым, кто говорил о числах Фибоначчи применительно к задаче о кроликах, однако в действительности эти числа известны были уже более тысячи лет, и служили они для описания форм индийской поэзии. И я всегда находил случай с числами Фибоначчи удивительным и отрезвляющим эпизодом в истории математики: возникнув на заре западной математики, столь привычные и фундаментальные, они начали становиться популярными лишь в 80-е. В любом случае, также интересно заметить, что идея разбивки цифр в группы по три, чтобы сделать большие числа более читаемыми, имеется уже в книге Фибоначчи 1202 года, хотя я думаю, что он говорил об использовании скобок над числами, а не о разделяющих запятых. После Фибоначчи наше современное представление для чисел постепенно становится всё популярнее, и ко времени начала книгопечатания в 15 веке оно уже было универсальным, хотя ещё и оставались несколько чудных моментов. Но алгебраических переменных в полном их смысле тогда ещё не было. Они появились лишь после Виета в конце 16 века и обрели популярность лишь в 17 веке. То есть у Коперника и его современников их ещё не было. Как в основном и у Кеплера. Эти учёные для описания каких-то математических концепций использовали обычный текст, иногда структурированный как у Евклида. Кстати, даже несмотря на то, что математическая нотация в те времена была не очень хорошо проработана, системы символьных обозначений в алхимии, астрологии и музыке были довольно развиты. Так, к примеру, Кеплер в начале 17 века использовал нечто, похожее на современную музыкальную нотацию, объясняя свою «музыку сфер» для отношений планетарных орбит. Со времён Виета буквенные обозначения для переменных стали привычным делом. Обычно, кстати, он использовал гласные для неизвестных и согласные — для известных. Вот как Виет записывал многочлены в форме, которую он называл "zetetics", а сейчас мы бы это назвали просто символьной алгеброй: Можно увидеть, что он использует слова для обозначения операций, в основном так, чтобы их нельзя было спутать с переменными. Так как раньше представляли операции, в каком виде? Идея о том, что операции есть нечто, что можно в какой-то форме представить, добиралась до умов людей довольно долго. Вавилоняне обычно не использовали символы для операций — для сложения они просто записывали слагаемые друг за другом. И в целом они были предрасположены записывать всё в виде таблиц, так что им не требовалось как-то обозначать операции. У египтян были некоторые обозначения для операций: для сложения они использовали пару идущих вперёд ног, а для вычитания — идущих назад. А вот кое-что из 1579 года, что выглядит весьма современным, написанное в основном на английском, пока не начнёшь понимать, что те забавные загогулины — это не иксы, а специальные небуквенные символы, которые представляют различные степени для переменных. В первой половине 17 века произошла своего рода революция в математической нотации, после которой она практически обрела свой современный вид. Было создано современное обозначение квадратного корня, который ранее обозначался как Rx — это обозначение сейчас используется в медицинских рецептах. И в основном алгебраическая нотация приобрела свой современный вид. Уильям Отред был одним из тех людей, кто серьёзно занимался этим вопросом. Изобретение логарифмической линейки — одна из вещей, которая сделала его известным. На самом деле о нём практически ничего неизвестно. Он не был крупным математиком, однако сделал много полезного в области преподавания, с такими людьми, как Кристофер Рен и его учениками. Странно, что я ничего не слышал о нём в школе, особенно если учесть, что мы учились в одной и той же школе, только он на 400 лет ранее. Однако изобретение логарифмической линейки было недостаточным для того, чтобы увековечить своё имя в истории математики. Но, в любом случае, он серьёзно занимался нотацией. Он придумал обозначать умножение крестиком, и он продвинул идею о представлении алгебры посредством обозначений вместо слов — так, как это делал Виет. И, фактически, он изобрёл довольно много других обозначений, подобно тильде для таких предикатов, как IntegerQ. После Отреда и его сотоварищей эти обозначения быстро установились. Были и альтернативные обозначения, как изображения убывающей и растущей лун для обозначения арифметических операций — прекрасный пример плохого и нерасширяемого дизайна. Однако в основном использовались современные обозначения. Вот пример. Это фрагмент рукописи Ньютона Principia, из которой ясно, что он в основном использовал современные алгебраические обозначения. Думаю, именно Ньютон придумал использовать отрицательные степени вместо дробей для обратных величин и прочего. Principia содержит весьма мало обозначений, за исключением этих алгебраических вещей и представления разного материала в стиле Евклида. И в действительности Ньютон не особо интересовался обозначениями. Он даже хотел использовать точечные обозначения для своих флюксий. Чего не скажешь о Лейбнице. Лейбниц много внимания уделял вопросам нотации. В действительности, он считал, что правильные обозначения есть ключ ко многим человеческим вопросам. Он был своего рода дипломат-аналитик, курсирующий между различными странами, со всеми их различными языками, и т. У него была идея, что если создать некий универсальный логический язык, то тогда все люди смогли бы понимать друг друга и имели бы возможность объяснить всё что угодно. Были и другие люди, которые размышляли о подобном, преимущественно с позиции обычных естественных языков и логики. Один из примеров — довольно специфичный персонаж по имени Раймонд Лул, живший в 14 веке, который заявлял, что изобрёл некие логические колёса, дающие ответы на все вопросы мира. Но так или иначе, Лейбниц разработал те вещи, которые были интересны и с позиций математики. То, что он хотел сделать, должно было так или иначе объединить все виды обозначений в математике в некоторый точный естественный язык с подобным математике способом описания и решения различных проблем, или даже больше — объединить ещё и все используемые естественные языки.