ПРОСТО ФРАКТАЛ. Фракталы в природе. Деревья, как и многие другие объекты в природе, имеют фрактальное строение. Международная команда исследователей под руководством ученых из Германии обнаружила молекулярный фрактал в цитрат-синтазе цианобактерии, ферменте микроорганизма, который спонтанно собирается в фигуру, известную в математике как «треугольник Серпинского».
ХАОС, ФРАКТАЛЫ И ИНФОРМАЦИЯ
Фрактал — это сложная геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия. То есть она составлена из нескольких частей, каждая из которых повторяет всю фигуру целиком. По определению Википедии фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба. Это свойство объектов американский правда, выросший во Франции математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами от латинского fractus — изломанный.
Этот фрактальный объект представляет собой треугольный узор, в котором каждый треугольник является уменьшенной копией целого. До сих пор ученым не встречались подобные молекулярные образования, сохраняющие самоподобие на разных масштабных уровнях. Уникальная сборка Изображение белковой молекулы было получено с помощью электронного микроскопа. В процессе своего роста фрактал образует внутри себя треугольные пустоты, что не делает ни одна из ранее известных белковых структур.
В результате сборка нарушает симметрию, и обычная регулярная решетка не формируется. Когда группа ученых создала генетически модифицированные бактерии, у которых цитратсинтаза не собирается во фрактальные треугольники, клетки росли так же хорошо, как и в обычных условиях. Модели предсказывают, что фрактальная структура могла возникнуть совершенно внезапно в результате очень небольшого количества мутаций, и также легко могла быть потеряна. Порядок вывода комментариев:.
Представления о роли эволюции в возникновении жизни остаются при этом в силе. Эволюция и жизнь В научном сообществе до сих пор нет согласия относительно движущей силы эволюции. Здесь конкурируют концепции автогенеза, дарвинизма, креационизма и др. Автор этих строк придерживается автогенетических воззрений. Здесь движущей силой эволюции полагаются взаимодействия материя , которые сами себя развивают в направлении возрастания сложности и разнообразия форм, интенсификации взаимодействий. Скажем, Ньютон в письме к Ричарду Бентли 1692 объяснял, что из-за гравитации вещество не может оставаться однородно рассеянным в пространстве.
Если бы пространство было конечным, объяснял он, вещество собралось бы в одну сферическую массу. В бесконечном же пространстве вещество соберется в бесчисленное множество сферических масс звезд. Сегодня мы знаем, что под давлением гравитации образуются не только звезды, но и всевозможные космические структуры. Я солидарен, далее, с лауреатом Нобелевской премии по физике за 1977 год Филипом Андерсоном, утверждающим, что «на каждом уровне сложности появляются совершенно новые свойства». При этом на разных уровнях организации материи, возникающих один за другим в ходе ее материи самоорганизации, начинают действовать все новые законы — физические, химические, биологические, социальные. Эволюция под давлением взаимодействий протекает тем успешнее, чем то позволяют обстоятельства. Это касается и феномена жизни. Как писал Роберт Чемберс в своей «Естественной истории мироздания» 1844 , жизнь «появлялась всюду и постоянно, когда только возникали благоприятные для того условия». Скажем, из всех планет Солнечной системы жизнь в ее развитых формах возникла только на Земле. На других планетах давление взаимодействий оказалось не столь результативным.
Отбор отбору рознь Главным конкурентом автогенетической теории эволюции сегодня продолжает оставаться теория естественного отбора. Отбор в ней — только один из трех компонентов естественного отбора, включающего в себя: 1 возникновение множества наследуемых малых случайных направленных «во все стороны» мутаций; 2 выживание наиболее адаптивных из этих мутаций в результате конкуренции особей и их взаимодействия со средой собственно отбор ; 3 накопление малых мутаций, выживающих на протяжении ряда поколений, в адаптивные признаки. Второй компонент, который часто некорректно отождествляют со всем естественным отбором, вполне реален, тогда как первый и третий реальности не отражают. Если бы Господь здесь это метафора положился только на естественный отбор, то никакой эволюции не происходило бы. Первый аргумент. Темпы органической эволюции превосходят темпы эволюции неорганической среды, так что сама по себе адаптация к среде не могла бы двигать эволюцию органического мира. Второй аргумент. Появляющиеся в ходе эволюции все более сложные формы зачастую не превосходят по адаптированности старые, скажем, бактерии или лишайники, проявляющие чудеса выживаемости в самых невероятных условиях. Третий аргумент. В ходе эволюционных изменений данный органический вид становится другим видом, репродуктивно обособленным от старого, который после того зачастую гибнет.
Объяснить это адаптацией к среде старого вида невозможно. Четвертый аргумент. Позиции теории естественного отбора подрывает и возникшая в последние десятилетия эволюционная биология развития evo-devo. Получаемые здесь результаты позволяют все увереннее утверждать, что органическая эволюция осуществляется посредством макромутаций, для появления которых оказывается достаточно изменений в нескольких и даже одном-двух генах. В научной литературе обсуждаются и другие аргументы против теории естественного отбора. Я знаю, что ничего не знаю Эти слова, обычно приписываемые Сократу, в полной мере могут быть отнесены к нашим представлениям о Вселенной. После открытия космического расширения стало понятно, что наблюдаемый мир ограничен для нас горизонтом видимости радиусом около 13,8 млрд световых лет.
Фрактальные узоры в природе и искусстве эстетичны и снимают стресс
Геометрические — строятся на основе исходной фигуры, которая определённым образом делится и преобразуется на каждой итерации. Алгебраические — строятся на основе алгебраических формул. Стохастические — образуются в том случае, если в итерационной системе случайным образом изменяется один или несколько параметров. Далее мы подробно разберём каждый класс.
Геометрические фракталы Эти фигуры основаны на прямых линиях, квадратах, кругах, многоугольниках и многогранниках. Рассмотрим несколько примеров от самого простого к сложному. Множество Кантора В 1883 году Георг Кантор — немецкий математик, автор теории множеств — придумал множество, которое повторяло само себя снова и снова.
Кантор взял произвольный отрезок и разделил его на две части, потом каждую — ещё на две и так далее: Изображение: Лев Сергеев для Skillbox Media Каждый этап деления прямых на две части называется итерацией. Итерация — это повторение одного и того же действия, или, по аналогии с программированием, одно прохождение тела цикла. На первой итерации у нас был один отрезок, на второй мы получили два, на третьей — четыре и так далее.
Если повторять это несложное действие бесконечное количество раз и увеличить масштаб изображения, то мы увидим ту же самую картину, что и в самом начале. Это и есть визуальное воплощение самоподобия: Изображение: Лев Сергеев для Skillbox Media Снежинка Коха aka кривая Коха Изображение: Лев Сергеев для Skillbox Media Шведский математик Хельге Фон Кох в 1904 году описал кривую, воспользовавшись треугольником и методом самоподобия, в результате чего получилась фрактальная снежинка. Ниже показаны четыре итерации построения такой фигуры.
Слева изображены исходные кривые, а справа — получившаяся из этих кривых снежинка. Нетрудно заметить, что в снежинки идеально вписывается как равносторонний треугольник, так и сама кривая: Изображение: Лев Сергеев для Skillbox Media На какой бы итерации мы ни увеличили масштаб изображения, мы всегда сможем увидеть знакомый паттерн, как и с множеством Кантора. Посчитать периметр такой снежинки невозможно, потому что она может разрастаться всё дальше и дальше… Это ещё одно свойство фракталов — бесконечность.
Ковёр, треугольник и кривая Серпинского Изображение: Лев Сергеев для Skillbox Media Польский математик Вацлав Серпинский брал за основу фрактала не только кривую, но и квадрат с треугольником. Для начала рассмотрим, как «размножается» кривая Серпинского. При каждой итерации количество её копий увеличивается в четыре раза, а рисунок становится сложнее: Изображение: Лев Сергеев для Skillbox Media Треугольник же на каждом шаге дробится на три равные части: Изображение: Лев Сергеев для Skillbox Media Квадрат, или ковёр, Серпинского получается так же, как и треугольник, но исходная фигура делится на восемь квадратов.
Ковёр Серпинского в трёхмерном пространстве превратится в кубический многогранник. По такому же принципу можно смоделировать и трёхмерный треугольник Серпинского.
Напомним, чтобы построить Снежинку Коха, нужно взять треугольник и превратить центральную треть каждого сегмента в треугольную выпуклость таким образом, чтобы фрактал был симметричным. Каждый выступ, конечно, длиннее исходного сегмента, но все же содержит конечное пространство внутри. Математик Бенуа Мандельброт увидел использовал этот пример для изучения концепции фрактальной размерности. Попутно он доказал, что длина береговой линии напрямую зависит от того, как сильно вы будете приближать ее. Виды фракталов Абстрактное самоподобное множество представить сложно. Наверняка вы задались вопросом: «А какими они вообще бывают, эти фракталы?
Геометрические Здесь все начинается с простой детали — строится такой фрактал от обычной геометрической фигуры. Прямо на этой основе чертится фрагмент, затем снова, и снова... И каждый раз уменьшается масштаб. На самом деле этот вид бесконечных множеств весьма прост для понимания и воплощения: любой школьник может удивить своего учителя по математике, нарисовав в тетради геометрический фрактал. И даже те, кто далёк от точных наук, смогут найти что-то для себя — в изобразительном искусстве геометрические фракталы использовали Джексон Поллок, Луис Уэйн, Мауриц Корнелис Эшер и другие художники. Весьма простые алгоритмы могут стать почвой для самого причудливого и ветвистого «дерева», которое вы когда-либо видели. Нужно только начертить график. Типовым примером алгебраического фрактала считается множество Мандельброта.
Для его построения используют комплексные числа. Если в процессе итерации это повторение каких-либо действий, не приводящее к вызовам самих себя случайным образом менять любые параметры, получится такой фрактал. Именно поэтому такой тип множества не визуализируется вручную — только в программе. Пожалуй, это самый «виртуозный» вид фракталов. Причём это не фракталы в чистом виде: авторы заимствуют понятия и концепты: отсюда название. Концептуальный фрактал и вовсе может состоять из нескольких видов. Фракталы в природе После того, как в 1975 году Мандельброт опубликовал свою основополагающую работу о фракталах, одно из первых практических применений появилось в 1978 году, когда Лорен Карпентер захотел создать несколько сгенерированных компьютером гор. Используя фракталы, которые начинались с треугольников, он создал удивительно реалистичный горный хребет.
В 1990-х годах Натан Коэн, вдохновленный снежинкой Коха, создал более компактную радиоантенну, используя только проволоку и плоскогубцы. Сегодня антенны в сотовых телефонах используют такие фракталы, как губка Менгера, фрактал Вичека и фракталы, заполняющие пространство, как способ максимизировать мощность восприятия при минимальном объеме пространства.
Она будет настолько извилистой, что полностью займет всю предоставленную ей плоскость, при этом оставаясь кривой с бесконечной длиной. Аналогично можно представить объемную структуру с небольшим объемом и бесконечной площадью — это человеческие легкие. Способность поглощать кислород напрямую зависит от площади дыхательной поверхности легких, но при этом они должны занимать относительно небольшой объем. Именно поэтому небольшие человеческие легкие имеют дыхательную поверхность большую, чем стандартный теннисный корт. Теорию фракталов используют в материаловедении.
Шероховатости и неровности, остающиеся на поверхности любого металла после его полировки или изготовления, имеют фрактальную природу. И более того, по ним можно предсказать прочностные характеристики металла — существует прямая зависимость между фрактальной размерностью и энергией, необходимой для разрушения металла. Аналогичные результаты были в исследованиях полимеров. Оказалось, что полимерные цепочки образуют сложные и запутанные структуры, которые определяют ключевые показатели полимеров. И эти запутанные цепочки — тоже фракталы! Отдельное развитие получили алгоритмы для генерации фракталов. Часть из них придумали еще в XIX веке, другие появились, когда возникла теория фракталов.
Вместе они стали основой раздела в искусстве, посвященного фрактальным узорам. Вскоре выяснилось, что можно генерировать компьютерную графику при помощи фракталов. Особенно актуально это оказалось для биологических структур: деревьев и растений. У капусты Романеско, например, невооруженным глазом видна фрактальная структура. Капуста романеско, www. В свою очередь, математическая теория перколяции широко используется в статистической физике и химии. Более того, теория фракталов вместе с теорией перколяции широко применимы при добыче нефти и газа.
Это объясняется тем, что порода, в которой находится нефть, имеет фрактальные пустоты и представляет собой что-то наподобие губки Менгера. В совокупности этих пустот как раз и наблюдается явление перколяции. Правильный же способ расположения скважин и объем добычи нефти на месторождении в значительной степени определяется структурой этих пустот, то есть фрактальной размерностью. У применения фракталов есть и весьма неоднозначные истории. В начале 90-х годов появились алгоритмы фрактального сжатия изображений, обещавшие огромную степень сжатия, но требующие большого количества времени. Такие алгоритмы ищут на картинке самоподобные участки, кодируют их специальным образом и значительно уменьшают размер изображения.
XaoS Open Source Project. Бесплатный, открытый, кроссплатформенный инструмент для масштабирования и изучения множества Мандельброта и десятков других фракталов.
Еще одна кроссплатформенная в том числе с мобильной версией программа, основанная на Java с открытым исходным кодом, для обработки изображений. Она известна в основном своим сложным генератором пламенных фракталов. Mandelbulber Mandelbulb3D. Превосходные бесплатные инструменты для создания трехмерных фракталов, таких как устрашающая Оболочка Мандельброта , загадочная «коробка» Мандельбокс и др. Mandelbulber несколько более функционален и быстр, но Mandelbulb3D чуть проще в использовании.
Исследовательская работа: «Фракталы в нашей жизни».
Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Посмотрите больше идей на темы «фракталы, природа, эрнст геккель». А разнообразие видов фракталов в природе значительно больше того, что могут дать результаты компьютерных вычислений.
Войти на сайт
Понятие ФРАКТАЛЫ (fractus -состоящий из фрагментов) введено в научный обиход Бенуа Мандельбротом. В наши дни теория фракталов находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности. Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Фото: Фракталы в природе молния. В своей книге “Фрактальная геометрия природы” (1982) Бенуа Мандельброт ввел термин фракталы, и создал математику для их описания.
Фракталы в природе и в дизайне: сакральная геометрия повсюду
Посмотрите больше идей на темы «фракталы, природа, закономерности в природе». Автор пина:Katrine. Находите и прикалывайте свои пины в Pinterest! Фракталы представляют собой довольно сложные для определения математические объекты, но в общих чертах их можно охарактеризовать как геометрические формы, состоящие из меньших структур, которые, в свою очередь, напоминают исходную целостную конфигурацию. Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения. В данном разделе вы найдете много статей и новостей по теме «фрактал». Все статьи перед публикацией проверяются, а новости публикуются только на основе статей из рецензируемых журналов. Фракталы существуют не только в макро мире, но и на поверхности Земли.
Бесконечность фракталов. Как устроен мир вокруг нас
Фракталы — это математические модели, которые появляются снова и снова, повторяясь в разных размерах. Фрактальные модели в природе и технике Текст научной статьи по специальности «Математика». Фракталы в природе (53 фото). Фрактальная геометрия природы.
Фракталы в природе: красота бесконечности вокруг нас
Фракталы как узоры и формы, повторяющие себя в разных масштабах, находим в живой и неживой природе. Одна из вещей, которые привлекли меня к фракталам, это их повсеместное распространение в природе. Фракталы — еще одна интересная математическая форма, которую каждый видели в природе.
Физики нашли фракталы в лазерах
Nature 2024. Эксперименты по "обратной эволюции", восстанавливающие предковую форму белка, продемонстрировали, что фрактальный узор возник внезапно из-за нескольких мутаций, но впоследствии исчез у большинства видов цианобактерий. Уровни фрактальной сборки. Авторство: Sendker, F. Данный факт подчёркивает важность стохастических процессов в эволюции, демонстрируя, что сложные фенотипы могут возникать без явной адаптивной функции. Молекулярная основа фрактальной сборки Авторство: Sendker, F.
Например, в режиме реального времени вы можете совершить «прогулку» по фракталу, изменив его масштаб. Анимированное движение вдоль фрактала можно сохранить в виде файла XAF и затем воспроизвести в самой программе. XaoS может загружать случайный набор параметров, а также использовать различные фильтры постобработки изображения — добавлять эффект смазанного движения, сглаживать резкие переходы между точками фрактала, имитировать 3D-картинку и так далее.
Во-первых, он совсем небольшой по размеру и не требует установки. Во-вторых, в нем реализована возможность определять цветовую палитру рисунка. Также очень удобно использовать опцию случайного подбора цветовых оттенков и функцию инвертирования всех цветов на картинке. Для настройки цвета имеется функция цикличного перебора оттенков — при включении соответствующего режима программа анимирует изображение, циклично меняя на нем цвета. Fractal Zoomer может визуализировать 85 различных фрактальных функций, причем в меню программы наглядно показываются формулы. Фильтры для постобработки изображения в программе имеются, хотя и в небольшом количестве. Каждый назначенный фильтр можно в любой момент отменить. Однако фрактальная геометрия выходит за рамки 2D-измерения.
В природе можно найти как примеры плоских фрактальных форм, скажем, геометрию молнии, так и трехмерные объемные фигуры. Фрактальные поверхности могут быть трехмерными, и одна из очень наглядных иллюстраций 3D-фракталов в повседневной жизни — кочан капусты. Наверное, лучше всего фракталы можно разглядеть в сорте романеско — гибриде цветной капусты и брокколи. А еще этот фрактал можно съесть Создавать трехмерные объекты с похожей формой умеет программа Mandelbulb3D. Чтобы получить трехмерную поверхность с использованием фрактального алгоритма, авторы данного приложения, Дениэл Уайт Daniel White и Пол Ниландер Paul Nylander , преобразовали множество Мандельброта в сферические координаты. Созданная ими программа Mandelbulb3D представляет собой самый настоящий трехмерный редактор, который моделирует фрактальные поверхности разных форм. Поскольку в природе мы часто наблюдаем фрактальные узоры, то искусственно созданный фрактальный трехмерный объект кажется невероятно реалистичным и даже «живым». Он может походить на растение, может напоминать странное животное, планету или что-нибудь другое.
Этот эффект усиливается благодаря продвинутому алгоритму визуализации, который дает возможность получать реалистичные отражения, просчитывать прозрачность и тени, имитировать эффект глубины резкости и так далее. В Mandelbulb3D имеется огромное количество настроек и параметров визуализации. Можно управлять оттенками источников света, выбирать фон и уровень детализации моделируемого объекта. Фрактальный редактор позволяет создавать анимацию. Вы не только конфигурируете трехмерное множество Мандельброта, но и можете его вращать, масштабировать и менять параметры с течением времени. Фрактальный редактор Incendia поддерживает двойное сглаживание изображения, содержит библиотеку из полусотни различных трехмерных фракталов и имеет отдельный модуль для редактирования базовых форм. Приложение использует фрактальный скриптинг, с помощью которого можно самостоятельно описывать новые типы фрактальных конструкций. В Incendia есть редакторы текстур и материалов, а движок визуализации позволяет использовать эффекты объемного тумана и различные шейдеры.
В программе реализована опция сохранения буфера при длительном рендеринге, поддерживается создание анимации. В состав Incendia включена небольшая утилита Geometrica — специальный инструмент для настройки экспорта фрактальной поверхности в трехмерную модель. С помощью этой утилиты можно определять разрешение 3D-поверхности, указывать число фрактальных итераций. Экспортированные модели могут быть использованы в 3D-проектах при работе с такими трехмерными редакторами, как Blender, 3ds max и прочие. В последнее время работа над проектом Incendia несколько затормозилась. На данный момент автор ищет спонсоров, которые помогли бы ему развивать программу. Если вам не хватает фантазии нарисовать в этой программе красивый трехмерный фрактал — не беда. С помощью файлов PAR вы сможете быстро найти самые необычные фрактальные формы, в том числе и анимированные.
Проект под названием Aural придумал тот же человек, что и Incendia. Правда, на этот раз программа не визуализирует фрактальное множество, а озвучивает его, превращая в электронную музыку. Идея очень любопытная, особенно если учесть необычные свойства фракталов. Aural — это аудиоредактор, генерирующий мелодии с использованием фрактальных алгоритмов, то есть, по сути, это звуковой синтезатор-секвенсор. Последовательность звуков, выдаваемая этой программой, необычна и… красива. Она вполне может пригодиться для написания современных ритмов и, как нам кажется, особенно хорошо подходит для создания звуковых дорожек к заставкам телевизионных и радиопередач, а также «петель» фоновой музыки к компьютерным играм. Рамиро пока не предоставил демонстрационной версии своей программы, но обещает, что, когда он это сделает, для того, чтобы работать с Aural, не нужно будет изучать теорию фракталов — достаточно просто поиграться с параметрами алгоритма генерирования последовательности нот. Послушать, как звучат фракталы, можно здесь и тут.
Фракталы: музыкальная пауза Вообще-то фракталы могут помочь написать музыку даже без программного обеспечения. Но это может сделать только тот, кто по-настоящему проникнут идеей природной гармонии и при этом не превратился в несчастного «ботана». Тут есть смысл брать пример с музыканта по имени Джонатан Колтон Jonathan Coulton , который, помимо всего прочего, пишет композиции для журнала Popular Science. И не в пример другим исполнителям, Колтон все свои произведения публикует под лицензией Creative Commons Attribution-Noncommercial, которая при использовании в некоммерческих целях предусматривает свободное копирование, распространение, передачу произведения другим лицам, а также его изменение создание производных произведения , чтобы приспособить его к своим задачам. У Джонатана Колтона, конечно же, есть песня про фракталы. Природа — лучший архитектор, идеальный строитель и инженер. Она устроена очень логично, и если где-то мы не видим закономерности, это означает, что ее нужно искать в другом масштабе. Люди все лучше и лучше это понимают, стараясь во многом подражать естественным формам.
Инженеры проектируют акустические системы в виде раковины, создают антенны с геометрией снежинок и так далее.
Это послужило основой для формирования треугольника Серпинского с его большими внутренними пустотами, а не регулярной решетки молекул. Приносит ли эта странная сборка что-нибудь полезное? Многие фрактальные структуры, например, в облаках или дельтах рек вверху , создаются случайными процессами и не подчиняются точной математической формуле; русло меньшего размера не совсем соответствует строению большего русла, от которого оно ответвляется. С другой стороны, папоротники внизу слева и цветная капуста романеско являются примерами регулярных фракталов. Когда команда ученых генетически манипулировала бактерией, чтобы предотвратить сборку ее цитратсинтазы во фрактальные треугольники, клетки росли так же хорошо в различных условиях. Такие случаи могут произойти, когда рассматриваемую конструкцию не так уж сложно построить». Воспроизведение эволюции в лаборатории Чтобы проверить свою теорию, команда воссоздала в лаборатории эволюционное развитие фрактального устройства.
Подробнее об этом позже. В природе Множество Мандельброта Одна из вещей, которые привлекли меня к фракталам, это их повсеместное распространение в природе.
Законы, управляющие созданием фракталов, похоже, встречаются во всем мире природы. Ананасы растут по фрактальным законам, а кристаллы льда формируются фрактальными формами, такими же, как в дельтах рек и венах вашего тела.