Фрактальная геометрия природы. Немного о фракталах и множестве Мандельброта Антон Ступин Что породило само понятие фрактал?
9 Удивительных фракталов, найденных в природе
Открытие молекулярного фрактала в цианобактерии – это не просто научная сенсация, но и философский повод задуматься о роли случайности в возникновении порядка, о сложном взаимодействии хаоса и гармонии в природе. Фрактал – это геометрическая фигура, в которой один и тот же мотив повторяется в последовательно уменьшающемся масштабе. Для фрактальной бесконечной Вселенной с ее нулевой средней плотностью такой проблемы не существует. Смотрите 27 онлайн по теме фрактал в природе. Понятие ФРАКТАЛЫ (fractus -состоящий из фрагментов) введено в научный обиход Бенуа Мандельбротом.
Фрактальная природа
- 9 Удивительных фракталов, найденных в природе
- Впервые в природе обнаружена микроскопическая фрактальная структура |
- Что такое фрактал?
- Созерцание великого фрактального подобия / Хабр
- 1 из 9: Романеско
Бесконечность фракталов. Как устроен мир вокруг нас
Это значит, что плоский фрактал в некотором смысле «проще» настоящей плоскости, но «сложнее» прямой. Фракталы также встречаются в природе. В частности, изрезанные береговые линии можно описать с помощью этих фигур, а кочан цветной капусты сорта Романеско, контуры облаков и ветвящаяся форма молний обладают свойством самоподбия. В новой работе физики обнаружили фракталы в лазерах. Как отмечают авторы, лазеры являются практически полной противоположностью природе, так как создаются в максимально приближенных к идеальным условиях: для возникновения когерентного излучения необходим резонатор из безупречно отшлифованных сферических зеркал и усиливающая колебания среда.
Здесь движущей силой эволюции полагаются взаимодействия материя , которые сами себя развивают в направлении возрастания сложности и разнообразия форм, интенсификации взаимодействий. Скажем, Ньютон в письме к Ричарду Бентли 1692 объяснял, что из-за гравитации вещество не может оставаться однородно рассеянным в пространстве. Если бы пространство было конечным, объяснял он, вещество собралось бы в одну сферическую массу. В бесконечном же пространстве вещество соберется в бесчисленное множество сферических масс звезд. Сегодня мы знаем, что под давлением гравитации образуются не только звезды, но и всевозможные космические структуры.
Я солидарен, далее, с лауреатом Нобелевской премии по физике за 1977 год Филипом Андерсоном, утверждающим, что «на каждом уровне сложности появляются совершенно новые свойства». При этом на разных уровнях организации материи, возникающих один за другим в ходе ее материи самоорганизации, начинают действовать все новые законы — физические, химические, биологические, социальные. Эволюция под давлением взаимодействий протекает тем успешнее, чем то позволяют обстоятельства. Это касается и феномена жизни. Как писал Роберт Чемберс в своей «Естественной истории мироздания» 1844 , жизнь «появлялась всюду и постоянно, когда только возникали благоприятные для того условия». Скажем, из всех планет Солнечной системы жизнь в ее развитых формах возникла только на Земле. На других планетах давление взаимодействий оказалось не столь результативным. Отбор отбору рознь Главным конкурентом автогенетической теории эволюции сегодня продолжает оставаться теория естественного отбора. Отбор в ней — только один из трех компонентов естественного отбора, включающего в себя: 1 возникновение множества наследуемых малых случайных направленных «во все стороны» мутаций; 2 выживание наиболее адаптивных из этих мутаций в результате конкуренции особей и их взаимодействия со средой собственно отбор ; 3 накопление малых мутаций, выживающих на протяжении ряда поколений, в адаптивные признаки.
Второй компонент, который часто некорректно отождествляют со всем естественным отбором, вполне реален, тогда как первый и третий реальности не отражают. Если бы Господь здесь это метафора положился только на естественный отбор, то никакой эволюции не происходило бы. Первый аргумент. Темпы органической эволюции превосходят темпы эволюции неорганической среды, так что сама по себе адаптация к среде не могла бы двигать эволюцию органического мира. Второй аргумент. Появляющиеся в ходе эволюции все более сложные формы зачастую не превосходят по адаптированности старые, скажем, бактерии или лишайники, проявляющие чудеса выживаемости в самых невероятных условиях. Третий аргумент. В ходе эволюционных изменений данный органический вид становится другим видом, репродуктивно обособленным от старого, который после того зачастую гибнет. Объяснить это адаптацией к среде старого вида невозможно.
Четвертый аргумент. Позиции теории естественного отбора подрывает и возникшая в последние десятилетия эволюционная биология развития evo-devo. Получаемые здесь результаты позволяют все увереннее утверждать, что органическая эволюция осуществляется посредством макромутаций, для появления которых оказывается достаточно изменений в нескольких и даже одном-двух генах. В научной литературе обсуждаются и другие аргументы против теории естественного отбора. Я знаю, что ничего не знаю Эти слова, обычно приписываемые Сократу, в полной мере могут быть отнесены к нашим представлениям о Вселенной. После открытия космического расширения стало понятно, что наблюдаемый мир ограничен для нас горизонтом видимости радиусом около 13,8 млрд световых лет. Так как никакой сигнал не может распространяться быстрее света, а расширение началось около 13,8 млрд лет назад, то события, происходящие вне этой сферы, в принципе не могут нами наблюдаться. Весь не ограниченный горизонтом видимости материальный мир называют Вселенной, сферический же ее участок, находящийся в пределах горизонта видимости, то есть наблюдаемый нами мир, — Метагалактикой. Более строго нашей Метагалактикой было бы называть относительно компактную космическую макроструктуру, включающую в себя наблюдаемый нами мир и отделенную от других метагалактик во Вселенной расстояниями, многократно превышающими ее собственные размеры.
Ниоткуда не следует, что размеры нашей Метагалактики совпадают с размерами наблюдаемого мира.
Разумеется, что найти абсолютно похожие участки крайне сложно, но ключевое свойство фрактала — это самоподобие, а не идентичность. А найти регулярные и подобные структуры в колебаниях цены — это уже более реальная задача. Получается, что рынок, как минимум, имеет фрактальные свойства. Само наличие закономерностей в движении говорит об этом. Волны Элиота — также определенная фрактальная закономерность в движении цены Каждая часть графика делится по определенной закономерность на самоподобные части. Что еще интересного можно найти на основе модели Мандельброта? К примеру, можно взглянуть на соотношение частей этого фрактала: Фрактальную теорию тесно связывают с принципом золотого сечения и числами Фибоначчи.
Опять же, не будем вдаваться в сложные математические вычисления и доказательства. Нас тут интересует, что определенное соотношение частей и сторон множества Мандельброта соответствуют принципам золотого сечения и чисел Фибоначчи. А это уже совсем другая история...
Однако мы пропустим много небольших заливчиков и полуостровков, которые по размеру намного меньше нашей линейки. Уменьшив размер линейки до, скажем, 1 метра - мы учтем эти детали ландшафта, и, соответственно длина берега станет больше. Пойдем дальше и измерим длину берега с помощью миллиметровой линейки, мы тут учтем детали, которые больше миллиметра, длина будет еще больше. В итоге ответ на такой, казалось бы, простой вопрос может поставить в тупик кого угодно - длина берега Британии бесконечна. Оно может употребляться, когда рассматриваемая фигура обладающая какими-либо из перечисленных ниже свойств: - обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур таких, как окружность, эллипс, график гладкой функции : если мы рассмотрим небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, на всех шкалах мы увидим одинаково сложную картину; - является самоподобной или приближённо самоподобной; - обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую.
Многие объекты в природе обладают фрактальными свойствами, например, побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система и система альвеол человека или животных. Фракталы, особенно на плоскости, популярны благодаря сочетанию красоты с простотой построения при помощи компьютера. Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке например, множество Кантора. Термин «фрактал» был введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую популярность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы». Самые большие группы это: геометрические фракталы алгебраические фракталы стохастические фракталы Однако существует и другая классификация: деление на рукотворные и природныефракталы. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования — то есть максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства. Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов — самый наглядный, потому что в нем сразу видна самоподобность. Получается он путем простых геометрических построений.
Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется «затравка» - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой «затравке» применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и, если мы проведем по крайней мере, в уме бесконечное количество преобразований, получим геометрический фрактал. Рисунок 3. Снежинка Коха Кривая Коха является типичным геометрическим фракталом. Процесс её построения выглядит следующим образом: берём единичный отрезок, разделяем на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без этого сегмента. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся звеньев и т. Выполнив аналогичные преобразование на сторонах равностороннего треугольника можно получить фрактальное изображение снежинки Коха. Для его построения из центра треугольника мысленно вырезают кусок треугольной формы, который своими вершинами будет упираться в середины сторон исходного треугольника.
Рисунок 4. Треугольник Серпинского. Рисунок 5. Процесс построения Треугольника Серпинского Повторяют эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников за исключением центрального , и так до бесконечности. Если теперь взять любой из образовавшихся треугольников и увеличить его, то получится точная копия целого. Это и есть полное самоподобие. Кривая дракона И зобретена итальянским математиком Джузеппе Пеано. Ее построение начинается с нулевого порядка, которая представляет собой прямой угол. Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем постоянных замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных также в виде прямого угла. При этом каждый первый угол оказывается вывернутым наружу, а каждый второй - вовнутрь.
Прекрасные фракталы в природе
Природа создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с безупречной геометрией и идеальной гармонией. В природе фрактальные особенности проявляются в таких вещах, как снежинки, молнии или дельты рек. Просмотрите доску «Фракталы в природе» пользователя Александрина в Pinterest. 97 фото | Фото и картинки - сборники. Чтобы доказать свое утверждение, он вводит ключевое для теории фракталов понятие фрактальной размерности.
Фракталы в природе (102 фото)
Романессу - особый вид брокколи, крестоцветный и вкусный двоюродный брат капусты - является особенно симметричным фракталом. Папоротник является хорошим примером фрактала среди флоры. Каждое соцветие копируется точно таким же только меньше. Фото сделано снизу, чтобы разглядеть это во всей красе. Брокколи - хоть брокколи не так лихо геометрична, как романессу, но тоже фрактальна. Павлины - всем известны своим красочным оперением, в котором спрятаны сплошные фракталы. Ананас - необычный плод это есть, фактически, фрактал. Хоть он часто связывается с Гавайями, плод - уроженец южной Бразилии.
Они позволяют сердечно-сосудистым системам эффективно доставлять кислород ко всем частям тела. Здесь мы приводим 9 удивительных и красивых примеров фракталов в природе. Склонность этого овоща к ускоренному образованию бутонов обуславливает спиралевидный рисунок и коническую форму. Верхушка становится все выше и выше по мере роста Романеско. Другие золотые спирали в природе — это спиральные галактики и раковины наутилусов. Вы, несомненно, заметили приятную спираль их чешуи, за которой прячутся семена. Они плотно закрываются, когда сыро или холодно, а затем раскрываются, когда наступает оптимальная погода для распространения семян по ветру. Опять же, фрактальная конструкция вызвана ускоренным ростом. Это естественный пример логарифмической или равноугольной спирали. У многолистного алоэ Aloe polyphylla и некоторых видов эхеверии есть веские причины для вздернутых, свернутых листьев: они помогают отводить дождевую воду к сердцевине растения и не дают верхним листьям затенять нижние.
За основу он взял латинское слово fractus, означающее «разделённый на части». Позже Мандельброт выпустил книгу «Фрактальная геометрия природы» The Fractal Geometry of Nature , в которой представил новый метод описания сложных природных объектов на основе фракталов. Обычные, или евклидовы, фигуры с этой задачей не справлялись, ведь в природе не существует прямых линий, треугольников, квадратов кругов и так далее. Однако о концепции фракталов было известно задолго до первых работ Мандельброта. Первую такую фигуру, которая вошла в историю как «множество Кантора» позже мы расскажем про неё подробнее , открыл Георг Кантор в 1883 году. На её основе математик продемонстрировал и самоподобие, и рекурсию. Позже учёные обнаружили рекурсию в объектах живой природы: деревьях, молниях, облаках и других. Оказалось, что структура таких объектов подобна структуре их частей, а значит, их можно описать неким математическим законом и не пытаться изобразить квадратами, кругами и другими классическими геометрическими фигурами. Читайте также: Сегодня модели на основе фракталов применяются в физике, биологии, медицине и других науках. А учёные продолжают находить закономерности, связанные с ними, в самых разных явлениях нашей Вселенной. Виды фракталов Фракталы принято делить на геометрические, алгебраические и стохастические. Геометрические — строятся на основе исходной фигуры, которая определённым образом делится и преобразуется на каждой итерации. Алгебраические — строятся на основе алгебраических формул. Стохастические — образуются в том случае, если в итерационной системе случайным образом изменяется один или несколько параметров. Далее мы подробно разберём каждый класс. Геометрические фракталы Эти фигуры основаны на прямых линиях, квадратах, кругах, многоугольниках и многогранниках. Рассмотрим несколько примеров от самого простого к сложному. Множество Кантора В 1883 году Георг Кантор — немецкий математик, автор теории множеств — придумал множество, которое повторяло само себя снова и снова. Кантор взял произвольный отрезок и разделил его на две части, потом каждую — ещё на две и так далее: Изображение: Лев Сергеев для Skillbox Media Каждый этап деления прямых на две части называется итерацией. Итерация — это повторение одного и того же действия, или, по аналогии с программированием, одно прохождение тела цикла. На первой итерации у нас был один отрезок, на второй мы получили два, на третьей — четыре и так далее.
Все эти случайные формы с легкостью описывает фрактальный алгоритм. Вот мы подошли к тому, чтобы рассмотреть, что такое фрактал с позиции точных наук. Немного сухих фактов Само слово «фрактал» с латыни переводится как "частичный", "разделенный", "раздробленный", а что касается содержания этого термина, то формулировки как таковой не существует. Обычно его трактуют как самоподобное множество, часть целого, которая повторяется своей структурой на микроуровне. Этот термин придумал в семидесятых годах ХХ века Бенуа Мандельброт, который признан отцом фрактальной геометрии. Сегодня под понятием фрактала подразумевают графическое изображение некой структуры, которая при увеличенном масштабе будет подобна сама себе. Однако математическая база для создания этой теории была заложена еще до рождения самого Мандельброта, а вот развиваться она не могла, пока не появились электронные вычислительные машины. Историческая справка, или Как все начиналось На рубеже 19-20 веков изучение природы фракталов носило эпизодический характер. Это объясняется тем, что математики предпочитали изучать объекты, поддающиеся исследованию, на основе общих теорий и методов. В 1872 году немецким математиком К. Вейерштрассом был построен пример непрерывной функции, нигде не дифференцируемой. Однако это построение оказалась целиком абстрактным и трудным для восприятия. Дальше пошел швед Хельге фон Кох, который в 1904 году построил непрерывную кривую, не имеющую нигде касательной. Ее довольно легко нарисовать, и, как оказалось, она характеризуется фрактальными свойствами. Один из вариантов данной кривой назвали в честь ее автора — «снежинка Коха». Далее идею самоподобия фигур развивал будущий наставник Б. Мандельброта француз Поль Леви. В 1938 году он опубликовал статью «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому». В ней он описал новый вид — С-кривую Леви. Все вышеперечисленные фигуры условно относятся к такому виду, как геометрические фракталы. Динамические, или алгебраические фракталы К данному классу относится множество Мандельброта. Первыми исследователями этого направления стали французские математики Пьер Фату и Гастон Жюлиа. В 1918 году Жюлиа опубликовал работу, в основе которой лежало изучение итераций рациональных комплексных функций. Здесь он описал семейство фракталов, которые близко связаны с множеством Мандельброта. Невзирая на то что данная работа прославила автора среди математиков, о ней быстро забыли. И только спустя полвека благодаря компьютерам труд Жюлиа получил вторую жизнь. ЭВМ позволили сделать видимым для каждого человека ту красоту и богатство мира фракталов, которые могли «видеть» математики, отображая их через функции. Мандельброт стал первым, кто использовал компьютер для проведения вычислений вручную такой объем невозможно провести , позволивших построить изображение этих фигур. Человек с пространственным воображением Мандельброт начинал свою научную карьеру в исследовательском центре IBM. Изучая возможности передачи данных на большие расстояния, ученые столкнулись с фактом больших потерь, которые возникали из-за шумовых помех. Бенуа искал пути решения этой проблемы.
Последние записи
- 9 Удивительных фракталов, найденных в природе | Знание – свет
- Фракталы в природе
- Фракталы – Красота Повтора
- Биофракталы
Фрактальные фигуры — новый раздел математики
- Фракталы в природе. Мир вокруг нас. Ч.2
- 14 Удивительные фракталы, обнаруженные в природе
- Бесконечность фракталов. Как устроен мир вокруг нас
- Уникальная сборка
Фрактальные узоры в природе и искусстве эстетичны и снимают стресс
Глядя на них трудно поверить, что это не творения природы и за ними скрываются математические формулы. Фракталы поразительно напоминают объекты живой и неживой природы вокруг нас. Словом они "как настоящие". Скорее всего, именно поэтому, однажды увидев, человек уже не может их забыть. Любопытную мысль приводит в своей книге "Фрактальная геометрия природы" американский математик Бенуа Мандельброт: "Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в том, что она неспособна достаточно точно описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака — это не сферы, линии берега — это не окружности, и кора не является гладкой, а молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные — задачи исследования морфологии аморфного.
Математики, однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, которые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или почувствовать". Все, что существует в реальном мире, является фракталом — это и есть наша гипотеза, а цель данной работы показать, что математика не бездушный предмет, она может выражать духовный мир человека в отдельности и в обществе в целом. Объектом исследования выступают фракталы в математике и в реальном мире. В процессе работы нами были выделены следующие задачи исследования: Проанализировать и проработать литературу по теме исследования. Рассмотреть и изучить различные виды фракталов. Дать представление о фракталах, встречающихся в нашей жизни. Актуальность заявленной темы определяется, в первую очередь, предметом исследования, в качестве которого выступает фрактальная геометрия. Структура исследовательской работы определялась логикой исследования и поставленными задачами. Она включает в себя введение, две главы, заключение, список использованной литературы, приложения.
История появления понятия «фрактал» Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. Георг Кантор Cantor, 1845-1918 - немецкий математик, логик, теолог, создатель теории бесконечных множеств, с помощью простой рекурсивной повторяющейся процедуры превратил линию в набор несвязанных точек. Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками. Получалась, так называемая, Пыль Кантора приложения 1, 2. Джузеппе Пеано Giuseppe Peano; 1858-1932 — итальянский математик изобразил особую линию.
Можно до бесконечности приводить примеры фрактальных объектов в природе, — это и облака, и хлопья снега, и горы, и вспышка молнии, и наконец, цветная капуста. Фрактал как природный объект — это вечное непрерывное движение, новое становление и развитие. Фракталы встречаются всюду: в продуктах питания, в бактериях,в растениях, в животных, в горах, в небе и в воде.
Эта структура позволяет грозовым тучам эффективно переносить воду из одного места в другое. Фракталы - это не просто геометрические фигуры, они имеют множество интересных свойств и приложений в науке и технологии. Например, фракталы используются в компьютерной графике и анимации для создания реалистичных текстур и эффектов. Они также используются в медицине для анализа сложных структур, таких как легкие или кровеносные сосуды. Фракталы имеют свойство самоподобия, что означает, что они выглядят одинаково на разных масштабах. Это свойство делает фракталы очень полезными для анализа сложных систем, таких как погода или финансовые рынки. Фрактальный анализ может помочь выявить скрытые закономерности и предсказать будущие изменения. Фракталы также имеют связь с хаосом и теорией динамических систем. Хаос - это состояние системы, когда даже небольшие изменения в начальных условиях могут привести к значительным изменениям в будущем.
До сих пор ученые не встречали подобные формы, которые сохраняли бы свое самоподобие в больших масштабах. Исследователи получили изображение белковой молекулы с помощью электронного микроскопа. По мере своего роста фрактал образует внутри себя треугольные пустоты, что не похоже ни на одну белковую сборку, известную ученым. Это происходит за счет того, что различные белковые цепи в разных положениях осуществляют несколько разные взаимодействия с другими цепями.
Исследовательская работа: «Фракталы в нашей жизни».
Смотрите 51 фото онлайн по теме фракталы в природе фото. Фрактал – это геометрическая фигура, в которой один и тот же мотив повторяется в последовательно уменьшающемся масштабе. чудо природы, с которым я предлагаю вам познакомиться. Международная группа ученых обнаружила впервые нашла в природе молекулу, обладающую свойствами регулярного фрактала. Часто говорят, что мать-природа чертовски хороший дизайнер, а фракталы можно рассматривать как принципы дизайна, которым она следует, собирая вещи вместе.